那么, 为什么海岸线不可求长, 或者说长度无 限呢? 由于海岸线太过复杂和不规则, 且海岸线也 不是一个数学概念, 我们先考虑一条由瑞典数学家 海尔格. 冯.科赫 (Helge von Koch, 1870-1924) 在 1904 年引入的曲线——科赫曲线. 科赫曲线是这样构造的 (见下图):

• (1) 作一直线段 $E_{0}$.
• (2) 将直线段 $E_{0}$ 三等分, 以中间三分之一线段 为底作一个等边三角形, 并擦去等边三角形的底, 得到图 4 中由 4 条长度为原线段长度 $1 / 3$ 的线段首 尾相连而成的折线 $E_{1}$ (即用等边三角形的两边替 代原线段的中间三分之一线段).
• (3) 对 $E_{1}$ 的每条线段同样用等边三角形的两 边替代原线段的中间三分之一线段, 得到一条由 16 条线段首尾相连而成的折线 $E_{2}$.
• (4) 对 $E_{2}$ 的每一条线段做同样的替代过程得 到图 4 中的折线 $E_{3}$, 并继续重复这个过程, 依次得 到越来越复杂的折线 $E_{4}, E_{5} \ldots \ldots$
• (5) 无限重复这个过程, 最后得到一条复杂曲线 $F$. 曲线 $F$ 就称为科赫曲线.

比起海岸线, 科赫曲线看上去规则多了, 但它保留了和海岸线类似的性质, 以后我们还将看到科 赫曲线的变体实际上可以看作是海岸线的一种模拟.

正是因为科赫曲线相对规则一些, 对它的研究也要容易一些, 比如, 我们可以尝试测量一下科赫曲线的长度.假设在科赫曲线构造中, 一开始线段 $E_{0}$ 的长度为 1 .

• 如果我们用长度为 $1 / 3$ 的尺量科赫曲线,需要量4 次, 量出的长度为 $4 / 3$ .
• 如果用长度为 $1 / 9$ 的尺量, 需要量 16 次, 量出 的长度为 $16 / 9$.
• 如果用长度为 $1 / 27$ 的尺量, 需要量 64 次, 量 出的长度为 $64 / 27$.

一般地, 如果用长度为 $1 / 3^{n}$ 的尺量科赫曲线, 需要量 $4^{n}$ 次, 量出的长度为 $(4 / 3)^{n}$.

事实上, 用长度为 $1 / 3$ 的尺量科赫曲线, 量出的 就是科赫曲线构造过程中 $E_{1}$ 的长度, 为 $4 / 3$. 用长度为 $1 / 3^{n}$ 的尺量, 量出的是 $E_{n}$ 的长度, 为 $(4 / 3)^{n}$. 可见, 尺长越来越短, 即 $n$ 越来越大, 量出的长度也 越来越大, 而当 $n$ 无限增大时, 量出的长度也无限 增大, 不会接近某个确定数值, 这表明科赫曲线无 法求出其长度, 或者说, 科赫曲线的长度是无穷大! 显然, 科赫曲线和我们通常认识的曲线有很大 不同. 事实上, 科赫曲线还有很多奇特的性质. 比 如三条科赫曲线首尾相接可以围成一个雪花形状的漂亮图案, 称为科赫雪花. 和圆周不同的是: 科赫雪花曲线围成的面积是有限的, 但它的周长却是无限的. 为什么圆周可以求出其确切长度, 而同样能围成有限面积的科赫雪花曲线却不可求长? 到底是什么原因造成科赫曲线不可求长的呢? 比较下圆周和科赫雪花曲线, 我们可以很直观地发现它 们本质上的区别: 圆周看上去是光滑的, 而科赫曲线却无比曲折粗粘, 处处不光滑.

何谓光滑呢? 粗略地说, 一条曲线是光滑的, 至少它处处有切线. 在切点附近, 曲线和直线 (切线) 靠得很近, 两者的差距非常小. 为此, 我们将光滑曲线的局部加以放大 来观察曲线的局部细节，比较其和直线的差别有多 大. 下图是圆周上一点附近的局部放大, 其中 (b) 是从圆周 (a) 上截取一小段弧放大所得的曲线; (c) 是从 (b) 上截取一小段弧放大所得, 或者说从圆周 (a) 上截取更小的一段弧放大更大的倍数后所得; 同样(d) 是从 (c)上截取一小段弧放大所得, 这是 圆周 (a) 上更小的一段弧放大出来的. 从中我们可 以明显地看出圆周上很小的一个局部非常接近于直 线, 并且, 如果我们在圆周上截取的弧越短, 放大的倍率越大, 则越接近直线. 事实上, 这是光滑曲线的共性! 下图 (a) 是一条复杂但仍然是光滑的曲线, 图 $(\mathrm{~b}),(\mathrm{c}),(\mathrm{d})$ 是图 (a) 中曲线的局部细节采用不同 倍数的放大. 我们同样可以看到, 尽管整条曲线看 来很复杂, 但很小的局部会变得非常简单, 直至和 直线看不出有什么区别. 当我们用直尺测量光滑曲线的长度时, 是用直尺 (直线段) 替代测量的那一段弧, 而当直尺的长度非常小时, 直尺所替代的那一小段弧和直线几乎没有什么区别, 因此, 测量得到 的误差微乎其微, 并且随着尺长的缩短, 总的测量 误差会越来越小, 最后当尺长趋于 0 时, 量出的长度就趋于曲线的实际长度.

现在来观察一下科赫雪花曲线的局部细节.和光滑曲线不同的是, 科赫曲线的任何一小段经过放大, 可以发现其和整条科赫曲线是相似的, 即它的任意小的局部与整体有同样的复杂度, 永远不会变得和直线近似. 因此, 在测量时, 不管所用的 直尺有多短, 用直尺来代替科赫曲线上相应的一小段是不合理的. 这样, 我们自然不能用直尺来测量 出科赫曲线的长度了, 这就是科赫曲线不可求长的 直观但本质的原因. 进一步, 仔细观察科赫曲线的 局部细节, 可以发现科赫曲线的任意小局部都包含了许多小的科赫曲线, 因此, 不但整条科赫曲线不 可求长, 而且其任何一小段都是不可求长的, 即截 取科赫曲线上任意一小段, 都可以无限拉长, 却无法拉成一条直线, 怎么拉都是弯曲的.

我们已经知道科赫曲线是不可求长的, 或者长度为无穷大. 现在我们从另一个角度来观察科赫曲线, 它看上去是一个漂亮的平面图形, 那么是不是 可以算算它的面积是多少呢? 为此我们先看一下另外一种构造科赫曲线的方法: 作一个顶角为 $120^{\circ}$ 的等腰三角形 $E_{0}$ (含三条边及其内部), 将 $E_{0}$ 的底边三等分, 以其中间三分之一边为底边, $E_{0}$ 的上顶点为顶点做一个等边三角形, 并在 $E_{0}$ 中挖去这个等边三角形, 得到由两个全等且与原三角形 $E_{0}$ 相似的等腰三角形组成的集合 $E_{1}$ (在挖去等边三角形时, 将这个三角形的底边一起挖去, 但保 留其腰上的两条边, 使得构成 $E_{1}$ 的两个等腰三角 形仍然包含其三条边). 对 $E_{1}$ 的两个等腰三角形进 行同样的过程得到一个由四个全等且与 $E_{0}$ 相似的 等腰三角形组成的集合 $E_{2}$. 继续这个过程, 逐次挖 去一些等边三角形, 依此得到 $E_{3}, E_{4}, \cdots$. 如果将这个过程无限继续下去, 则最后挖剩下的集合 $F$ 恰好 就是科赫曲线. 这里我们必须注意到: 在上述过程 中, 构成 $E_{n}$ 的那些等腰三角形都是包含其三条边的, 无限进行上述过程不会把等腰三角形 $E_{0}$ 全部挖掉, 事实上, 构成 $E_{n}$ 的那些等腰三角形的所有顶 点都不会被挖去, 最后都保留在集合 $F$ 里.

现在我们通过计算面积来看看到底还挖剩下 多少? 假设等腰三角形 $E_{0}$ 的面积为 $A$, 则第一次 挖去的等边三角形面积是 $(1 / 3) A$, 因而 $E_{1}$ 的面积 为 $(2 / 3) A$. 而 $E_{1}$ 由两个全等且和 $E_{0}$ 相似的等腰 三角形组成, 每个等腰三角形的面积是 $(1 / 3) A$. 对 组成 $E_{1}$ 的每个等腰三角形同样地挖去中间的等边 三角形, 则挖去的面积是 $(1 / 3)(1 / 3) A=\left(1 / 3^{2}\right) A$, 从而第二次挖去的两个等边三角形的面积之和是 $\left(2 / 3^{2}\right) A$. 一般地, 第 $n$ 次要挖去 $2^{n-1}$ 个小等边三角 形, 每个小等边三角形的面积为 $\left(1 / 3^{n}\right) A$, 因而第 $n$ 次挖去的等边三角形的面积之和为 $\left(2^{n-1} / 3^{n}\right) A, \cdots$. 这样, 挖去的所有等边三角形面积之和为 $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\cdots+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\cdots\right) A=A .$ 于是, 挖剩下的科赫曲线 $F$ 的面积是 $A-A=0$.

这就是说, 将科赫曲线当作一个平面图形用面积来 度量它也不是那么适合的, 因为其面积是可以忽略不计的零. 不过尽管科赫曲线非常复杂, 但其构造却很有 规律. 它是通过一个无穷递归的过程构造的, 而递 归过程的每一步都很简单, 是一个简单的重复进行的过程. 在科赫曲线的构造过程中 , 第二步得到的折线 $E_{1}$ 尤其重要, 称为科赫曲线的生成子, 以后的每一步都在前一步得到的折线的基础上, 将折线中的每一段直线均用 $E_{1}$ 的缩小版来替代, 即 $E_{n+1}$ 是将 $E_{n}$ 的每一条直线段用缩小了的 $E_{1}$ 替代得到的. 因此, 只要有了 $E_{1}$ 就可以得到科赫曲线. 改变 $E_{1}$ 的形状, 我们可以用同样的方法得到一些复杂而漂亮的分形图形 .

我们总结一下科赫曲线的特征:

• (1) 科赫曲线处处不光滑, 没有切线, 其局部和 整体一样复杂.
• (2) 科赫曲线的长度为无穷大, 面积为零, 因此 长度和面积等常规度量已不是测量科赫曲线合适的量.
• (3) 科赫曲线具有自相似性, 其任意小的局部 都包含有原曲线的复制品.
• (4) 科赫曲线尽管复杂, 其构造却比较简单, 可 以通过一个无穷递归过程得到.

来源：

• 《分形 颠覆传统的几何学》邱维元 著